ベクトル空間

日本語

名詞

ベクトル空間（ベクトルくうかん）

1. （数学）いくつかの条件を満たす和とスカラー倍が定義された集合。具体的には、ある集合 V の任意の2つの元 X, Y に対して和と呼ばれる新しい元 X + Y ∈ V が唯一つ定まり、V の任意の元 X とある体 K の任意の元 a の間にスカラー倍と呼ばれる新しい元 aX ∈ V が唯一定まり、次の8つの性質が満たすときの集合 V。V の元をベクトルと呼び、K の元をスカラーと呼ぶ。
   • ベクトルの和に分配法則 (X + Y) + Z = X + (Y + Z) が成り立つ。(X, Y, Z ∈ V)
   • ベクトルの和に交換法則 X + Y = Y + X が成り立つ。(X, Y ∈ V)
   • ベクトルの和に単位元あるいはゼロベクトルと呼ばれる X + O = X を満たす O ∈ V が存在する。
   • ベクトルの和に逆元あるいは逆ベクトルと呼ばれる X + Y = O を満たす Y ∈ V が存在する。
   • スカラーの和に対してスカラー倍の分配法則 (a + b)X = aX + bX が成り立つ。(X ∈ V, a, b ∈ K)
   • ベクトルの和に対してスカラー倍の分配法則 a(X + Y) = aX + bY が成り立つ。(X, Y ∈ V, a ∈ K)
   • スカラー同士の乗法とスカラー倍の間で (ab)X = a(bX) が成り立つ。(X ∈ V, a, b ∈ K)
   • スカラー倍に 1 X = X を満たす単位元 1 ∈ K が存在する。

用法

スカラー倍を規定する体 K と合わせてベクトル空間が決まるため、ベクトル空間 V のことを「K 上のベクトル空間」などと言い表す。

類義語

• 抽象ベクトル空間、線形空間、線型空間、抽象線形空間、抽象線型空間

翻訳

• 英語:vector space